Introduzione

I recenti lavori sulle dinamiche non-lineari, in particolare i sistemi caotici, nelle scienze naturali, hanno provocato interesse per le potenziali applicazioni in altri campi. Mentre le persistenti irregolarita' di comportamento delle serie storiche economiche e finanziarie sono state generalmente attibuite a comportamenti casuali, l'abilita' di semplici modelli di chaos deterministico di produrre delle simulazioni che appaiono casuali, ha catturato l'attenzione dei ricercatori verso spiegazioni diverse dal classico "random walk model".
Le ricerche sulla rilevazione dei comportamenti caotici nelle serie storiche si sono espanse rapidamente negli ambienti accademici, ma spesso i risultati sono stati inconclusivi, cosa dovuta all'incapacita' delle tecniche standard, come l'analisi spettrale e delle autocorrelazioni, di distinguere tra serie storiche generate da processi stocastici o deterministici.
Altre metodologie, come il "correlation dimension test" generalmente congiunto al calcolo del "Lypunov esponent" , si sono dimostrate di dubbia validita' su dati economici/finanziari, caratterizzati da serie storiche relativamente corte ed altamente rumorose. Recentemente, nel campo delle sciemze fisiche, e' stato sviluppato un nuovo, promettente, approccio per la rilevazione topologica di chaos deterministico a basso livello. Questi metodi includono il "Close Returns Test", un metodo di particolare interesse (e semplicita') che appare essere utile nella determinazione dei fenomeni non-lineari in serie storiche corte e rumorose come quell di nostro interesse.

Metodi di rilevazione

Al presente vi sono due approcci per l'analisi di dati generati da processi che esibiscono chaos: quello metrico e quello topologico. Quello metrico e' caratterizzato dallo studio delle distanze tra i punti di uno "strange attractor"., quello topologico e' caratterozzato dallo studio di come e' organizzato uno "strange attractor", definito come una serie di punti in cui un cammino caotico dovra' convergere.
La descrizione di un sistema caotico (partendo da una serie storica y=y(1),y(2),...,y(n)) e' facilitato dall'uso di uno spazio delle fasi. Per ogni punto y(s) della serie lo stato del sistema e' descritto da un vettore Y=[y(s+1), y(s+2),...y(s+p)] in uno stato delle fasi a p dimensioni. Ogni vettore descrive il sistema in un singolo punto, e spostandoci sulla serie storica, il vettore evolve con il tempo.
Due meccanismi sono reponsabili per l'esistenza di uno "strange attractor": l'allungamento e la compressione dello spazio Euclideo a P dimensioni che definisce il sistema in ogni punto.
Il primo meccanismo, l'allungamento, e' responsabile della sensibile dipendenza alle condizioni iniziali: significa che due punti vicini nello spazio delle fasi (e non sulla serie storica) ma con lievi differenze, evolveranno con traiettorie divergenti esibendo dei comportamenti drammaticamente diversi dopo poco tempo. Questo meccanismo e' responsabile della impossibilita' di prevedere, nel medio e lungo periodo, serie storiche che esibiscono chaos.
Il secondo meccanismo, la compressione e' responsabile del comportamento ricorrente esibito dai sistemi caotici, in contrapposizione con i i sistemi casuali, generando pattern che ripetono (quasi) se stessi su una serie storica caotica. Questo meccanismo, e la sua rilevazione, rappresenta il cuore delle analisi per rilevare il caos, sia dal punto di vista metrico che topologico.

Il metodo topologico

Il punto di partenza per implementare l'algoritmo topologico e' la nostra serie storica y(t), t=1,2,...N. Se una delle osservazioni y(i) e' vicina ad una orbita periodica, allora l'osservazione seguente deve evolvere, per brevi istanti, vicino all'orbita prima di esserne respinta. Questo significa che per un intervallo temporale T avremo che |y(i)-y(i+T)| sara' di piccolo valore. Avremo poi che y(i+1) sara' vicino a y(i+T+1) e cosi' via. Per rilevare queste zone di "close returns" nella nostra serie storica, e' conveniente utilizzare un grafico con codice di colore, in cui, una volta calcolate tutte le differenze |y(i)-y(i+T)| saranno colorati di nero i punti in cui il valore sara' minore di un Epsilon piccolo a misura, e di bianco quando saranno maggiori. L'asse orizzontale del grafico indichera' il numero dell'osservazione (il tempo), i dove i=1,2,...N e l'asse verticale la distanza k dove k=1,2,...N-i . I dati "close returns" saranno indicati nel gafico da serie di punti orizzontali contigui, ed evidenzieranno la presenza del fenomeno non-linerare precedente spiegato.
La determinazione del corretto valore di Epsilon e' relativamente semplice: data la serie storica, si calcola prima la massima differenza assoluta tra tutti i punti della medesima, per poi fissare Epsilon pari ad un sottomultiplo, tipicamente tra 0.01 e 0.1. Il valore di Epsilon non e' critico.

Iniziamo a sottoporre all'indafine una serie storica composta da numeri casuali, con distibuzione di probabilita' uniforme:

y(t)=RND, (RND --> 0-1)

la lieve struttura che si puo' notare dipende, probabilmente, dal cattivo processo generante la seri di numeri casuali (la funzione RND del VisualBasic), per il resto cio' che appare e' molto simile allo snow-effect rilevabile in presenza di uno schermo TV senza segnale coerente.

In questo esempio, invece, sottoponiamo all'indagine la classica funzione logistica, con a=3.75, valore nel quale la funzione esibisce un comportamento caotico:

Y(t)=3.75*y(t-1)*[1-y(t-1)]

in questo caso e' possibile identificare ampie zone di punti orizzontali contigui, zone in cui si evidenzia il fenomeno caotico spiegato nei precendenti paragrafi.

Analisi dei mercati

In questo paragrafo si analizzeranno, con il metodo grafico del "Close Returns Test" due mercati: L0 SP 500 futures, e il Fib30 futures (dati nella forma di continuous contract). Di ambedue le serie storiche sono analizzati, per ragioni di difficolta' grafiche e di calcolo solo 300 elementi. Data la forte non-stazionarieta' delle serie storiche (a differenza delle due precedentemente indagate), si e' preferito sottoporre al test la serie dei rapporti tra prezzi contigui x(t)=P(t)/P(t-1), dove P(t) rappresenta il prezzo del futures al tempo t.
Sia nel caso dello SP500 daily che del Fib30 daily, si sono presi i prezzi di chiusura in ore del giorno che massimizzavano il valore assoluto del coefficiente di autocorrelazione con ritardo pari a uno. Questo per mescolare, in una sola indagine, un classico fenomeno lineare con un presunto fenomeno non-lineare. Nel caso della serie storica dello SP 500 futures weekly, come prezzo di chiusura e' stato preso il classico valore del venerdi'.

Fib30 futures daily

SP500 futures daily

SP500 futures weekly

Come si puo' notare dalle figure,pur non potendo asserire con certezza che vi sia presenza di fenomeni caotici, e' evidente una certa struttura nei dati rappresentativi dei due mercati. Alle stesse conclusioni (possibilita', anche se non evidenza assoluta, di un comportamento caotico) sono giunti Ramsey, Sayer e Rotman (1990) relativamente alla serie storica dello SP500 weekly (cash, in questo caso).

Conclusioni e futuri sviluppi

Il "Close Returns Test" rappresenta una metodologia semplice, e particolarmente adatta per serie storiche corte e rumorose quali quelle finanziarie, per evidenziare particolari strutture nascoste nel comportamento dei mercati. Una volta avuta una ragionevole sicurezza della presenza di questi comportamenti non-lineari, il passo successivo restera' quello di tentare una qualche forma di previsione, delle medesime serie storiche, con metodologie che tengano conto dei possibili fenomeni caotici.
L'applicazione del classico "nearest neighbors method" sembrerebbe, a questo punto, la miglior soluzione per tentare previsioni su orizzonti temporali molto brevi, e un eventuale significativo migliormento rispetto al classico "random walk forecasting" permetterebbe altresi una maggior confidenza nel definire chaos a basso livello la struttura del mercato evidenziata dal "Close return Test".

Appendice
E' relativamente semplice realizzare le "Close Returns Map", partendo da un file ASCII contenente i prezzi della attivita' finanziaria desiderata. Sotto viene riportato il semplice code per VisualBasic adatto.

Private Sub Form_Paint()
 Randomize Timer
 ScaleMode = 2
 nn = 300  ' numero di dati presenti nel file
 ReDim C(nn), X(nn)
 Open "dati.prn" For Input As 1  ' nel file -dati.prn-sono contenuti i prezzi
  For i = 1 To nn
   Input#1,hh
   X(i) = hh
  Next i
  For i=2 To nn
   C(i)=X(i)/X(i-1) 
  Next i

 dist = 0
 For y = 1 To nn
  For x = 1 To nn
   If Abs(C(x) - C(y)) > dist Then dist = Abs(C(x) - C(y))
  Next x
 Next y
 Epsilon = dist * 0.01  'calcolo del valore Epsilon

 For y = 1 To nn
  For x = 1 To nn - y
   xx = Abs(C(y) - C(x))
   If xx 





Letture consigliate

Per apprendere le nozioni di base sul chaos:



D. Peak M. Frame

Chaos Under Control

FREEMAN

Autori Vari

The New Scientist Guide To Chaos

NINA HALL

R. Devaney

Caos e Frattali

ADDISON WESLEY

J. Froyland

Chaos and Coherence

IOP Publishing


Testi e articoli relativi alle applicazioni su serie storiche economico/finanziarie:




E. E. Peters

Chaos and Order in Capital Markets

WILEY

E. E. Peters

Fractal Market Analysis

WILEY

Autori Vari

Chaos and Nonlinear Dynamics in the Financial Markets

R. R. TRIPPI


C. G. Gilmore

A New Test for Chaos

St. Joseph's University

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